求證：當f（x）=ax2+bx+c（a≠0）時，方程ax2+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．
分析：結(jié)合二次函數(shù)和二次方程的特點，從必要性和充分性兩方面來證即可．
解答：證明：必要性：設方程ax2+bx+c=0有不等實根x1＜x2，
根據(jù)韋達定理有x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
，
取x0=
x1+x2
2
=-
b
2a
，代入函數(shù)解析式可得
f（x0）=a(-
b
2a
)2+b(-
b
2a
)+c=
4ac-b2
4a
，
因為方程有兩個實根，所以b2-4ac＞0，
所以a•f（x0）=
4ac-b2
4
＜0成立；
充分性：如果存在x0使得a•f（x0）＜0，即a2x2+abx+ac＜0在x=x0處成立，
因為a2＞0，根據(jù)二次函數(shù)特點，x=-
ab
2a2
處，a2x2+abx+ac 取得最小值，
為f（-
ab
2a2
）=ac-
b2
4
，既然它是最小值，那么f（-
ab
2a2
）≤f（x0）＜0，
所以ac-
b2
4
＜0，即b2-4ac＞0，故原方程必然有2個不等實根；
綜上可得：方程ax2+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．
點評：本題考查充要條件的證明，涉及一元二次方程根的分布，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+bx2+cx（a＜b＜c），其圖象在點A（1，f（1）），B（m，f（m））處的切線的斜率分別為0，-a．
（1）求證：0≤
b
a
＜1；
（2）若函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍；
（3）若當x≥k時（k是與a，b，c無關的常數(shù)），恒有f′（x）+a＜0，試求k的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的兩個極值點．
（Ⅰ）若x1=-1，x2=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
2
，求b的最大值；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=f'（x）-a（x-x1），x∈（x1，x2），當x2=a時，求證：|g(x)|≤
1
12
a(3a+2)2．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

求證：當f（x）=ax2+bx+c（a≠0）時，方程ax2+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年黑龍江省牡丹江一中高一（上）摸底數(shù)學試卷 （解析版） 題型：解答題

求證：當f（x）=ax2+bx+c（a≠0）時，方程ax2+bx+c=0有不等實根的充要條件是：存在x∈R使得a•f（x）＜0．

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