Question

（1）求證：若x＞0，則ln（1+x）＞

x

1+x

；
（2）若a，b＞0求證：lna-lnb≥1-

b

a

．

Answer 1

分析：（1）欲證ln（1+x）＞

x

1+x

，設(shè)f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

利用導(dǎo)數(shù)證明出當(dāng)x＞0時(shí)f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函數(shù)．結(jié)合f（x）＞f（0）=0即得；
（2）欲證lna-lnb≥1-

b

a

，令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，由（1），f（x）在x=0處取得最小值．即ln（1+x）-

x

1+x

≥0從而證得lna-lnb≥1-

b

a

．

解答：（1）f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，∴f′（x）=

x

(1+x) 2

x＞0時(shí)f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x）＞

x

1+x

（2）令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，
由（1），f（x）在x=0處取得最小值．
即ln（1+x）-

x

1+x

≥0
∴而lna-lnb-1+

b

a

=ln

a

b

+

b

a

-1=f（

a

b

-1)
∴l(xiāng)na-lnb-1+

b

a

≥0
即lna-lnb≥1-

b

a

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的證法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．