Question

某廠家2008年擬舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量m萬件（即該廠的年產(chǎn)量）與促銷費用x萬元（x≥0）滿足m=3-

2

x+1

．已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品m萬件的成本C=16m+8萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價定為每件產(chǎn)品成本的1.5倍．
（Ⅰ）試將2008年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用x萬元的函數(shù)；
（Ⅱ）該廠家2008年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
（利潤=銷售額-成本-促銷費用）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)“利潤=銷售額-成本-促銷費用”得：利潤函數(shù)y=（1.5-1）C-x，代入C，m整理即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利潤函數(shù)y的解析式，構(gòu)造并應(yīng)用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），求出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得：利潤函數(shù)y=（1.5-1）C-x=0.5（16m+8）-x
=8m+4-x=8(3-

2

x+1

)+4-x=28-

16

x+1

-x（其中x≥0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y=29-(

16

x+1

+x+1)≤29-2

16 x+1 •(x+1)

=21
當(dāng)且僅當(dāng)

16

x+1

=x+1，即x=3時取等號，
所以，廠家2008年的促銷費用投入3萬元時，廠家的最大利潤為21萬元．

點評：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，同時考查了構(gòu)造并應(yīng)用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），求函數(shù)最值問題，應(yīng)用基本不等式時要注意等號成立的條件．