在△ABC中,角A,B,C所列邊分別為a,b,c,且1+
tanA
tanB
=
2c
b

(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若a=
3
,試判斷bc取得最大值時△ABC形狀.
分析:(Ⅰ)利用正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡已知式可得cosA=
1
2
,從而求得角A的值.
(Ⅱ)在△ABC中,利用余弦定理和基本不等式可得bc≤3,此時根據(jù)b=c=
3
,又a=
3
,可得,△ABC為等邊三角形
解答:解:(Ⅰ)∵1+
tanA
tanB
=
2c
b
,∴1+
sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
,…(2分)
sinBcosA+sinAcosB
sinBcosA
=
2sinC
sinB
,∴
sin(A+B)
sinBcosA
=
2sinC
sinB
,∴cosA=
1
2
,…(4分)
∵0<A<π,∴A=
π
3
.…(6分)
(Ⅱ)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,且a=
3
,
(
3
)2=b2+c2-2bc•
1
2
=b2+c2-bc
,∵b2+c2≥2bc,∴3≥2bc-bc,
即bc≤3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=
3
時,bc取得最大值,…(9分),
a=
3
,故bc取得最大值時,△ABC為等邊三角形 …(12分)
點(diǎn)評:本題考查正弦定理、余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,基本不等式的應(yīng)用,求出bc≤3,是解題的難點(diǎn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關(guān)系一定不成立的是( 。
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60°,cos(B+C)=-
1114

(1)求cosC的值;
(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(1)求角B的大小;
(2)若a=4,c=3,D為BC的中點(diǎn),求△ABC的面積及AD的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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