Question

若對(duì)任意x∈A，y∈B，（A、B⊆R）有唯一確定的f（x，y）與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)f（x，y）為關(guān)于x、y的二元函數(shù)．現(xiàn)定義滿(mǎn)足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f（x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”：
（1）非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)取等號(hào)；
（2）對(duì)稱(chēng)性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．
今給出四個(gè)二元函數(shù)：
①f（x，y）=x²+y²；②f（x，y）=（x-y）²③f(x，y)=

x-y

；④f（x，y）=sin（x-y）．
能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是

①

．

Answer 1

分析：利用新定義的三個(gè)條件，若有一個(gè)不滿(mǎn)足，即不是“關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)”．

解答：解：①對(duì)于函數(shù)f（x，y）=x²+y²：滿(mǎn)足非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)取等號(hào)；滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性：f（x，y）=f（y，x）；
∵f（x，z）+f（z，y）=x²+z²+z²+y²≥x²+y²=f（x，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立，因此滿(mǎn)足三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）．可知f（x，y）能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)．
②f（x，y）=（x-y）²≥0，但是不僅x=y=0時(shí)取等號(hào)，x=y≠0也成立，因此不滿(mǎn)足新定義：關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)；
③f（x，y）=

x-y

，若f（x，y）=

x-y

成立，則f（y-x）=

y-x

不一定成立，即不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性；
④同樣f（x，y）=sin（x-y）不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性．
綜上可知：只有①滿(mǎn)足新定義，能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)．
故答案為①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．