Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列（如：在a₁與a₂之間插入1個數構成第一個等差數列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個數構成第二個等差數列，其公差為d₂，…以此類推），設第n個等差數列的和是A_n．是否存在一個關于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由；
（3）對于（2）中的數列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數列中是否存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數m，k，p成等差數列）成等比數列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）n≥2時，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+
兩式相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，∴a_n+1=3a_n，即數列{a_n}的公比為3
∵n=1時，a₂=2S₁+2，∴3a₁=2a₁+2，解得a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1；
（2）由（1）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
因為a_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以d_n=
第n個等差數列的和是A_n=（n+2）a_n+×=4（n+2）×3^n-1=（n+2）（n+1）d_n，
∴存在一個關于n的多項式g（n）=（n+2）（n+1），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N^*恒成立；
（3）假設在數列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列
則d_k²=d_md_p，即（）²=×
因為m，k，p成等差數列，所以m+p=2k①
上式可以化簡為k²=mp②
由①②可得m=k=p這與題設矛盾
所以在數列{dn}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列．
分析：（1）n≥2時，由a_n+1=2S_n+2，再寫一式，兩式相減，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）先求得d_n，從而可得第n個等差數列的和A_n，由此可得結論；
（3）利用反證法．假設在數列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列，由此可得m=k=p這與題設矛盾．
點評：本題考查數列通項公式的求解，考查等差數列的求和，考查反證法思想，確定數列的通項，利用數列的求和公式是關鍵．