(07年天津卷理)(14分)

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)原點(diǎn)到直線的距離為.

    (I)證明:;

    (II)設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)過原點(diǎn)作直線的垂線垂足為求點(diǎn)的軌跡方程.

解析:(I)證法一:由題設(shè)不妨設(shè)點(diǎn)其中由于點(diǎn)在橢圓上,有即    解得從而得到

直線的方程為整理得

    由題設(shè),原點(diǎn)到直線的距離為

    將代入上式并化簡(jiǎn)得 

證法二:同證法一,得到點(diǎn)的坐標(biāo)為

    過點(diǎn)垂足為易知

   

由橢圓定義得所以

    解得

(II)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),由知,直線的斜率為

所以直線的方程為其中

    點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

    將①式代入②式,得

    整理得于是

         ③

    由①式得  

                      、

    由將③式和④式代入得

     將代入上式,整理得

    當(dāng)時(shí),直線的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

     所以

    由解得

    這時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足

    綜上,點(diǎn)的軌跡方程為

解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為垂足為可知直線的方程為(顯然點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

                由①式得      、

    由②式得  、     將③式代入④式得

    整理得于是   、

    由①式得        、

    由②式得      、

    將⑥式代入⑦式得

    整理得于是    、

    由將⑤式和⑧式代入得

      將代入上式,得

    所以,點(diǎn)的軌跡方程為

【考點(diǎn)】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(07年天津卷理) 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為    (   )

    A.4                 B.11                C.12                D.14

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(07年天津卷理) 的                                  (   )

    A.充分而不必要條件                       B.必要而不充分條件

    C.充分必要條件                           D.既不充分也不必要條件

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(07年天津卷理) 函數(shù)的反函數(shù)是                            (   )

    A.                      B.

    C.                      D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(07年天津卷理)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且.若在區(qū)間上是減函數(shù),則(   )

    A.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)

    B.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)

    C.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)

    D.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(07年天津卷理)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且.若在區(qū)間上是減函數(shù),則(   )

    A.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)

    B.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)

    C.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)

    D.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)

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