等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)(n,Sn),均在函數(shù)y=bx+r(b>0)且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值;
(2)當(dāng)b=2時(shí),記bn=
n+14an
(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
分析:(1)由“對(duì)任意的n∈N+,點(diǎn)(n,Sn),均在函數(shù)y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上”可得到Sn=bn+r,依次求出a1、a2、a3,由等比數(shù)列的性質(zhì)(a22=a1×a3,解可得答案.
(2)結(jié)合(1)可知an=(b-1)bn-1=2n-1,從而bn=
n+1
4an
=
n+1
2n-1
=
n+1
2n+1
,符合一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)之積的形式,用錯(cuò)位相減法求解即可.
解答:解:因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+,點(diǎn)(n,Sn),均在函數(shù)y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.
所以得Sn=bn+r,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=b+r,
a2=S2-S1=b2+r-(b1+r)=b2-b1=(b-1)b,
a3=S3-S2=b3+r-(b2+r)=b3-b2=(b-1)b2,
又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以(a22=a1×a3
解可得r=-1,
(2)當(dāng)b=2時(shí),an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=
n+1
4an
=
n+1
2n-1
=
n+1
2n+1

則Tn=
2
22
+
3
23
+
4
24
+…+
n+1
2n+1

1
2
Tn=
2
23
+
3
24
+
4
25
+…+
n
2n+1
+
n+1
2n+2

相減,得
1
2
Tn=
2
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
+…+
1
2n+1
-
n+1
2n+2

1
2
+
1
23
×(1-
1
2n-1
1-
1
2
-
n+1
2n+2
=
3
4
-
1
2n+1
-
n+1
2n+2

所以Tn=
3
2
-
1
2n
-
n+1
2n+1
=
3
2
-
n+3
2n+1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,主要涉及了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系,錯(cuò)位相減法求和等問(wèn)題,屬中檔題,是?碱愋停
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(1)敘述并證明等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;
(2)已知Sn是等比數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a1+k,a7+k,a4+k(k∈N)成等差數(shù)列;
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(-1,0)∪(0,+∞)
(-1,0)∪(0,+∞)

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設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,又Wn=
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
,如果a8=10,那么S15:W15=
100
100

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設(shè)Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=4,S4=20則數(shù)列的首項(xiàng)a1=(  )

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