Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），P為橢圓上與長軸端點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為Q，若|OQ|=2b，橢圓的離心率為e，則$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{2b}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用轉(zhuǎn)化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，進(jìn)一步得到a，e與b的關(guān)系，然后利用基本不等式求得$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{2b}$的最小值．

解答 解：如圖，由題意，P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，
過焦點(diǎn)F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為Q，
延長F₂Q交F₁P延長線于M，得PM=PF₂，
由橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PM=MF₁=2a，
連接OQ，知OQ是三角形F₁F₂M的中位線，
∴OQ=a，又OQ=2b，
∴a=2b，則a²=4b²=4（a²-c²），
即c²=$\frac{3}{4}$a²，
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{4}+{c}^{2}}{2{a}^{2}b}$=$\frac{16^{4}+\frac{3}{4}•4^{2}}{8^{3}}$
=2b+$\frac{3}{8b}$≥2$\sqrt{2b•\frac{3}{8b}}$=$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)2b=$\frac{3}{8b}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$時，$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$有最小值為$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．