Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}（{\frac{1}{x+1}}）（{-1＜x＜1}）\\ f（{2-x}）-a+1（{1＜x＜3}）\end{array}\right.$，（a＞0，a≠1），若x₁≠x₂，則f（x₁）=f（x₂）時(shí)，x₁+x₂與2的大小關(guān)系是（　�。�

• A． 恒小于2
• B． 恒大于2
• C． 恒等于2
• D． 與a相關(guān)

Answer 1

分析 根據(jù)變量關(guān)系，不妨設(shè)-1＜x₁＜1＜x₂＜3，則-1＜2-x₂＜1，設(shè)f（x₁）=f（x₂）=t，用t分別表示出x₁和x₂的關(guān)系，求出x₁+x₂的值，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若x₁≠x₂，設(shè)f（x₁）=f（x₂）=t，
不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，則-1＜2-x₂＜1
則f（x₁）=-log_a（x₁+1）=t，則1+x₁=a^-t，則x₁=a^-t-1，
f（x₂）=f（2-x₂）-a+1=-log_a（3-x₂）-a+1=t，
log_a（3-x₂）=1-a-t
則3-x₂=a^1-a-t，x₂=3-a^1-a-t，
則x₁+x₂=a^-t-1+3-a^1-a-t=2+（a^-t-a^1-a-t）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x為減函數(shù)，且-t＜-t+1-a，則a^-t＞a^1-a-t，此時(shí)x₁+x₂＞2；
當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x為增函數(shù)，且-t＞-t+1-a，則a^-t＞a^1-a-t，此時(shí)x₁+x₂＞2；
故x₁+x₂的值恒大于2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)f（x₁）=f（x₂）=t，求出出x₁+x₂的值，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．