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【題目】數列 滿足: , 或1().對任意,都存在,使得.,其中 且兩兩不相等.

(I)若.寫出下列三個數列中所有符合題目條件的數列的序號;

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記.若,證明: ;

(Ⅲ)若,求的最小值.

【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)見解析(Ⅲ)的最小值為

【解析】試題分析:(Ⅰ)依據定義檢驗給出的數列是否滿足要求條件.(Ⅱ)當時, 都在數列中出現,可以證明至少出現4次,2至少出現2次,這樣. (Ⅲ)設出現頻數依次為.同(Ⅱ)的證明,可得: , ,┄, , , ,則,我們再構造數列:

,證明該數列滿足題設條件,從而的最小值為

解析:(Ⅰ)對于①,,對于, ,不滿足要求;對于②,若,則,且彼此相異,若,則,且彼此相異,若,則,且彼此相異,故②符合題目條件;同理③也符合題目條件,故符合題目條件的數列的序號為②③.

注:只得到 ② 或只得到 ③ 給[ 1分],有錯解不給分.

(Ⅱ)當時,設數列出現頻數依次為,由題意

① 假設,則有(對任意),與已知矛盾,所以.同理可證:

② 假設,則存在唯一的,使得.那么,對,有兩兩不相等),與已知矛盾,所以.

綜上: , , ,所以

(Ⅲ)設出現頻數依次為.同(Ⅱ)的證明,可得: , , ,┄, , ,則

得到的數列為:

下面證明滿足題目要求.對,不妨令,

① 如果,由于,所以符合條件;

② 如果,由于,所以也成立;

③ 如果,則可選取;同樣的,如果

則可選取,使得,且兩兩不相等;

④ 如果,則可選取,注意到這種情況每個數最多被選取了一次,因此也成立.綜上,對任意,總存在,使得,其中且兩兩不相等.因此滿足題目要求,所以的最小值為

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