Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-

π

3

）=1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點．
（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)的差角公式展開曲線C的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（2）先在直角坐標(biāo)系中算出中點P的坐標(biāo)，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系求出其極坐標(biāo)和直線OP的極坐標(biāo)方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由ρcos(θ-

π

3

)=1得ρ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)=1
從而C的直角坐標(biāo)方程為

1

2

x+

3

2

y=1
即
x+

3

y=2
θ=0時，ρ=2，所以M（2，0）
θ=

π

2

時，ρ=

2 3

3

，所以N(

2 3

3

，

π

2

)
（Ⅱ）M點的直角坐標(biāo)為（2，0）
N點的直角坐標(biāo)為(0，

2 3

3

)
所以P點的直角坐標(biāo)為(1.

3

3

)，則P點的極坐標(biāo)為(

2 3

3

，

π

6

)，
所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=

π

6

，ρ∈（-∞，+∞）

點評：本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．