Question

觀察下列等式：

3

2

+

1

2

i=cos

π

3

+isin

π

3

，
（

3

2

+

1

2

i）²=cos

2π

3

+isin

2π

3

，
（

3

2

+

1

2

i）³=cosπ+isiπ，
（

3

2

+

1

2

i）⁴=cos

4π

3

+isin

4π

3

，
…
照此規(guī)律，可以推測對于任意的n∈N^*，（

3

2

+

1

2

i）ⁿ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：通過式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，左邊是（

3

2

+

1

2

i）的冪的形式，且次數(shù)逐項(xiàng)增加，右邊都是同角的余正弦，且角是以

π

3

為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)果．

解答： 解：觀察可知
等式左邊是以（

3

2

+

1

2

i）為首項(xiàng)，公比為（

3

2

+

1

2

i）的等比數(shù)列，
所以第n行等式左邊為（

3

2

+

1

2

i）ⁿ，右邊每行都是同角的余弦加正弦，且角是以

π

3

為首項(xiàng)，公差為

π

3

的等差數(shù)列，
所以第n行等式右邊為cos

nπ

3

+sin

nπ

3

．
故答案為cos

nπ

3

+isin

nπ

3

點(diǎn)評：這是一個考查歸納推理的問題，主要是從式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手分析，例如本題的右端是同角的余弦加正弦，且的角的規(guī)律為等差數(shù)列，本題不難．