Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿足：若過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），且恒有y₁+y₂為定值y₀，則y₀的值為

-

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知P點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，由此求出函數(shù)的對(duì)稱中心，即可求出定值，從而得出正確選項(xiàng)．

解答：解：y′=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x單調(diào)遞增，f′（-1）=0
則原函數(shù)關(guān)于P對(duì)稱，f(-1)=-

1

3

，
所以定點(diǎn)P(-1，-

1

3

)，y1+y2=-

2

3

于是y₀=-

2

3

．
故答案為：-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題，P點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是解題的突破口，屬于中檔題．