Question

2．對(duì)于兩個(gè)平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，定義它們的一種運(yùn)算：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sinθ（其中θ為向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角），則關(guān)于這種運(yùn)算的以下結(jié)論中，不恒成立的是（　�。�

• A． $\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$
• B． 若$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow$
• C． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$
• D． 若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|x₁y₂-x₂y₁|

Answer 1

分析 對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$運(yùn)算的定義容易判斷出選項(xiàng)A恒成立；
對(duì)于選項(xiàng)B，討論$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$是否為$\overrightarrow{0}$：$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$都不為$\overrightarrow{0}$時(shí)，便可得出sinθ=0，從而得到θ=0，或π，從而得出$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，而$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$中有一個(gè)為$\overrightarrow{0}$時(shí)，顯然$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$成立，從而判斷出B恒成立；
對(duì)于選項(xiàng)C，可設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，而$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，這樣即可說(shuō)明該選項(xiàng)不恒成立；
對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)$\overrightarrow{a}?\overrightarrow$運(yùn)算的定義即可得到$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，而$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，帶入化簡(jiǎn)，并帶入$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}，|\overrightarrow|=\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$便可以說(shuō)明該選項(xiàng)恒成立，這樣即可得出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．∵$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|sinθ$，θ表示向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角；
$\overrightarrow{a}?\overrightarrow=|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|sinθ=|\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|sinθ=\overrightarrow?\overrightarrow{a}$，∴該選項(xiàng)恒成立；
B．①當(dāng)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow≠\overrightarrow{0}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|sinθ=0$時(shí)，sinθ=0；
∴θ=0，或π；
∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
②當(dāng)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，或$\overrightarrow=\overrightarrow{0}$時(shí)，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$恒成立；
∴該選項(xiàng)恒成立；
C．當(dāng)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow$時(shí)，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$?$\overrightarrow{c}=0$，$\overrightarrow{a}?\overrightarrow{c}+\overrightarrow?\overrightarrow{c}=2$；
∴該選項(xiàng)不恒成立；
D.$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|sinθ=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}$
=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}）^{2}}=|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|$，∴該選項(xiàng)恒成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)新運(yùn)算$\overrightarrow{a}?\overrightarrow$的理解和運(yùn)用，向量夾角的概念，向量平行的概念，舉反例的方法說(shuō)明結(jié)論不恒成立，以及向量夾角的余弦公式，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，完全平方公式的運(yùn)用．