Question

13．已知雙曲線C：x²-y²=2，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為2$\sqrt{2}$，則直線l的方程為（　�。�

• A． y=$\sqrt{2}$x+2
• B． y=-$\sqrt{2}$x+2
• C． y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x-2
• D． y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為：y=kx+2，將直線方程代入雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出|EF|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到直線的距離d，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$×|EF|×d=$2\sqrt{2}$，求得k值，并驗(yàn)證△＞0．

解答 解：由題意得：直線l的斜率一定存在，設(shè)l：y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=2}\end{array}\right.$⇒（1-k²）x²-4kx-6=0，△=16k²+24（1-k²）=24-8k²
則$\left\{\begin{array}{l}{1{-k}^{2}≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$⇒k²＜3且k≠±1，
x₁+x₂=$\frac{4k}{1{-k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{6}{1{-k}^{2}}$，|EF|²=（1+k²）[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂]=（1+k²）$\frac{24-{8k}^{2}}{{（1{-k}^{2}）}^{2}}$，
∵原點(diǎn)到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
S_△=$\frac{1}{2}$×|EF|×d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（1{+k}^{2}）\frac{24-{8k}^{2}}{{（1-k）}^{2}}}$×$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$⇒k⁴-k²-2=0，
解得k²=2或k²=-1（舍去），即k=±$\sqrt{2}$，
故所求直線方程為$\sqrt{2}$x-y+2=0或$\sqrt{2}$x+y-2=0．
即y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查了直線與雙曲線的關(guān)系，韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)．解答本題一定要注意驗(yàn)證△＞0．