Question

如圖，已知四棱錐P一ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1．M是PB的中點(diǎn)．
（1）求證AM=CM；
（2）N是PC的中點(diǎn)，求證DN∥平面AMC．

Answer 1

證明：（1）在直角梯形ABCD中，BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD、BC?平面ABCD．
∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
在Rt△PAB中，M為PB的中點(diǎn)，則AM=．
在Rt△PBC中，M為PB的中點(diǎn)，則CM=，
∴AM=CM．
（2）連接DB交AC于F，
∵DC，∴DF=．
取PM中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)M，則DG∥FM，
又DG?平面MAC，F(xiàn)M?平面AMC，
∴DG∥平面AMC，連DN，GN，則GN∥MC，
∴GN∥平面AMC，又GN∩DG=G，
∴平面DNG∥平面ACM，
又DN?平面DNG，
∴DN∥平面ACM．
分析：（1）先證明BC⊥PC，利用在Rt△PAB中，M為PB的中點(diǎn)，則AM=．在Rt△PBC中，M為PB的中點(diǎn)，則CM=，得到AM=CM．
（2）連接DB交AC于F，取PM中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)M，說明DG∥FM，證明DG∥平面AMC，連DN，GN，證明GN∥MC．然后證明DN∥平面ACM
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力，邏輯推理能力，證明線段相等，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，是中檔題．