如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;
(2)求二面角C-AE-D的余弦值.
解:(1)如圖,以A為原點(diǎn),AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz,
則依題意可知A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2),
則P=(4,0,-2),C=(0,-2,0),B=(4,0,0).
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為
n=(x,y,1),則⇒⇒.
所以平面PCD的一個(gè)單位法向量為:
=(,0,),
所以=|(4,0,0)·(,0,)|=,
則點(diǎn)B到平面PCD的距離為.
(2)由(1)可得E(2,0,1),易知平面ADE的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0).
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n2=(x′,y′,1),
又A=(2,0,1),A=(4,2,0),
則⇒⇒,
所以平面ACE的一個(gè)法向量為n2=(-,1,1).
設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ,
則cos θ===.
結(jié)合圖形可知二面角C-AE-D的余弦值為.
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