如圖,在底面是矩形的四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCDPAAB=2,BC=4,EPD的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;

(2)求二面角CAED的余弦值.

解:(1)如圖,以A為原點(diǎn),AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Axyz

則依題意可知A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2),

P=(4,0,-2),C=(0,-2,0),B=(4,0,0).

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為

n=(x,y,1),則.

所以平面PCD的一個(gè)單位法向量為:

=(,0,),

所以=|(4,0,0)·(,0,)|=,

則點(diǎn)B到平面PCD的距離為.

(2)由(1)可得E(2,0,1),易知平面ADE的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0).

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n2=(x′,y′,1),

A=(2,0,1),A=(4,2,0),

所以平面ACE的一個(gè)法向量為n2=(-,1,1).

設(shè)二面角CAED的大小為θ

則cos θ.

結(jié)合圖形可知二面角CAED的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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(2012•惠州模擬)如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=2,E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值.

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如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,BC=4.
(Ⅰ)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(Ⅱ)在BC邊上是否存在一點(diǎn)M,使得D點(diǎn)到平面PAM的距離為2,若存在,求BM的值,若不存在,請說明理由.

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(2010•通州區(qū)一模)如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分別是PC、PD的中點(diǎn),求證:
(Ⅰ)EF∥平面PAB;
(Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.

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如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中點(diǎn)
(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求三棱錐P-AEC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,PA=AB=1,BC=2.
(1)若E為PD的中點(diǎn),求異面直線AE與PC所成角的余弦值;
(2)在BC上是否存在一點(diǎn)G,使得D到平面PAG的距離為1?若存在,求出BG;若不存在,請說明理由.

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