分析 (Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,利用向量的加法法則把→PC、→PB用→PA、→AB、→AC表示,代入→PC•→PB,進(jìn)一步代入數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解;
(Ⅱ)以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,得→AB=(1,0),→AC=(−12,√32),由→AP=x→AB+y→AC=(x-12y,√32y),結(jié)合|→PA|=1利用基本不等式求最值得到xy的最大值.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,由題意可知,→PB=→PA+→AB,→PC=→PA+→AC,
∴→PC•→PB=(→PA+→AC)•(→PA+→AB)=→PA2+→PA•→AB+→PA•→AC+→AC•→AB
=1+1×1×cos(180°-α)+1×1×cos(60°+α)+1×1×cos120°
=1-cosα+cos60°cosα-sin60°sinα−12
=−√32sinα−12cosα+12=-sin(α+30°)+12.
∵0°≤α≤120°,
∴30°≤α+30°≤150°,
則當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時(shí),→PC•→PB取最小值−12;
(Ⅱ)如圖,以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
則→AB=(1,0),→AC=(−12,√32),
則→AP=x→AB+y→AC=x(1,0)+y(−12,√32)=(x-12y,√32y),
∴|→AP|2=(x−y2)2+(√3y2)2=x2−xy+y24+3y24=x2+y2−xy=1,
∴1=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),xy有最大值為1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量模的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
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