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5.如圖,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=120°,點(diǎn)P在以A為圓心,AB為半徑的圓弧^BC上運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)若PCPB取最小值,求∠BAP的大小;
(Ⅱ)設(shè)AP=xAB+yAC,其中x,y∈R,求xy的最大值.

分析 (Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,利用向量的加法法則把PC、PBPAABAC表示,代入PCPB,進(jìn)一步代入數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解;
(Ⅱ)以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,得AB=10AC=1232,由AP=xAB+yAC=(x-12y,32y),結(jié)合|PA|=1利用基本不等式求最值得到xy的最大值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,由題意可知,PB=PA+AB,PC=PA+AC
PCPB=PA+ACPA+AB=PA2+PAAB+PAAC+ACAB
=1+1×1×cos(180°-α)+1×1×cos(60°+α)+1×1×cos120°
=1-cosα+cos60°cosα-sin60°sinα12
=32sinα12cosα+12=-sin(α+30°)+12
∵0°≤α≤120°,
∴30°≤α+30°≤150°,
則當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時(shí),PCPB取最小值12;
(Ⅱ)如圖,以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
AB=10,AC=1232,
AP=xAB+yAC=x(1,0)+y(1232)=(x-12y,32y),
|AP|2=xy22+3y22=x2xy+y24+3y24=x2+y2xy=1,
∴1=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),xy有最大值為1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量模的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.

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