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5.如圖,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=120°,點(diǎn)P在以A為圓心,AB為半徑的圓弧^BC上運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)若PCPB取最小值,求∠BAP的大小;
(Ⅱ)設(shè)AP=xAB+yAC,其中x,y∈R,求xy的最大值.

分析 (Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,利用向量的加法法則把PC、PBPAABAC表示,代入PCPB,進(jìn)一步代入數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解;
(Ⅱ)以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,得AB=10AC=1232,由AP=xAB+yAC=(x-12y,32y),結(jié)合|PA|=1利用基本不等式求最值得到xy的最大值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,由題意可知,PB=PA+AB,PC=PA+AC
PCPB=PA+ACPA+AB=PA2+PAAB+PAAC+ACAB
=1+1×1×cos(180°-α)+1×1×cos(60°+α)+1×1×cos120°
=1-cosα+cos60°cosα-sin60°sinα12
=-\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα+\frac{1}{2}=-sin(α+30°)+\frac{1}{2}
∵0°≤α≤120°,
∴30°≤α+30°≤150°,
則當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時(shí),\overrightarrow{PC}\overrightarrow{PB}取最小值-\frac{1}{2};
(Ⅱ)如圖,以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
\overrightarrow{AB}=(1,0),\overrightarrow{AC}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),
\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x(1,0)+y(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(x-\frac{1}{2}y,\frac{\sqrt{3}}{2}y),
|\overrightarrow{AP}{|}^{2}=(x-\frac{y}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}y}{2})^{2}={x}^{2}-xy+\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}={x}^{2}+{y}^{2}-xy=1,
∴1=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),xy有最大值為1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量模的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.

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