Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧$\widehat{BC}$上運(yùn)動(dòng)．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PB}$取最小值，求∠BAP的大小；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，其中x，y∈R，求xy的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)角BAP=α（0°≤α≤120°），則CAP=120°-α，利用向量的加法法則把$\overrightarrow{PC}$、$\overrightarrow{PB}$用$\overrightarrow{PA}、\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，代入$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PB}$，進(jìn)一步代入數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解；
（Ⅱ）以AB所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，得$\overrightarrow{AB}=（1，0）$，$\overrightarrow{AC}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，由$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$=（x-$\frac{1}{2}y$，$\frac{\sqrt{3}}{2}y$），結(jié)合$|\overrightarrow{PA}|=1$利用基本不等式求最值得到xy的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)角BAP=α（0°≤α≤120°），則CAP=120°-α，由題意可知，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}）$=${\overrightarrow{PA}}^{2}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=1+1×1×cos（180°-α）+1×1×cos（60°+α）+1×1×cos120°
=1-cosα+cos60°cosα-sin60°sinα$-\frac{1}{2}$
=$-\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα+\frac{1}{2}$=-sin（α+30°）$+\frac{1}{2}$．
∵0°≤α≤120°，
∴30°≤α+30°≤150°，
則當(dāng)α+30°=90°，即α=60°時(shí)，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PB}$取最小值$-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）如圖，以AB所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則$\overrightarrow{AB}=（1，0）$，$\overrightarrow{AC}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
則$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$=x（1，0）+y（$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（x-$\frac{1}{2}y$，$\frac{\sqrt{3}}{2}y$），
∴$|\overrightarrow{AP}{|}^{2}=（x-\frac{y}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}y}{2}）^{2}$=${x}^{2}-xy+\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}={x}^{2}+{y}^{2}-xy$=1，
∴1=x²+y²-xy≥2xy-xy=xy，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，xy有最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．