分析 (Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,利用向量的加法法則把→PC、→PB用→PA、→AB、→AC表示,代入→PC•→PB,進(jìn)一步代入數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解;
(Ⅱ)以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,得→AB=(1,0),→AC=(−12,√32),由→AP=x→AB+y→AC=(x-12y,√32y),結(jié)合|→PA|=1利用基本不等式求最值得到xy的最大值.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)角BAP=α(0°≤α≤120°),則CAP=120°-α,由題意可知,→PB=→PA+→AB,→PC=→PA+→AC,
∴→PC•→PB=(→PA+→AC)•(→PA+→AB)=→PA2+→PA•→AB+→PA•→AC+→AC•→AB
=1+1×1×cos(180°-α)+1×1×cos(60°+α)+1×1×cos120°
=1-cosα+cos60°cosα-sin60°sinα−12
=-\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα+\frac{1}{2}=-sin(α+30°)+\frac{1}{2}.
∵0°≤α≤120°,
∴30°≤α+30°≤150°,
則當(dāng)α+30°=90°,即α=60°時(shí),\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}取最小值-\frac{1}{2};
(Ⅱ)如圖,以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
則\overrightarrow{AB}=(1,0),\overrightarrow{AC}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),
則\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x(1,0)+y(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(x-\frac{1}{2}y,\frac{\sqrt{3}}{2}y),
∴|\overrightarrow{AP}{|}^{2}=(x-\frac{y}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}y}{2})^{2}={x}^{2}-xy+\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}={x}^{2}+{y}^{2}-xy=1,
∴1=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí),xy有最大值為1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量模的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
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