Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）+2lnx+1（a∈R）
（1）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若不等式f（x）≥2-a對(duì)任意x∈[1，+∞]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0，由f（x）=x（x-a）+2lnx+1，知f′(x)=2x-a+

2

x

，當(dāng)a=5時(shí)，f′(x)=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

，令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2=2，由此能求出函數(shù)的極大值和極小值．
（2）由f（x）≥2-a，知x（x-a）+2lnx+1≥2-a，故x²+2lnx-1≥a（x-1）．由此入手，能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0，
∵f（x）=x（x-a）+2lnx+1，
∴f′(x)=2x-a+

2

x

，
當(dāng)a=5時(shí)，f′(x)=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

，
令f′（x）=0，得x1=

1

2

，x2=2，

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2）	2	（2，+∞）
y′	y′＞0	y′=0	y′＜0	y′=0	y′＞0
y	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴函數(shù)極大值y=

-5

4

-2ln2，極小值y=-5+2ln2．
（2）∵f（x）≥2-a，
∴x（x-a）+2lnx+1≥2-a，
∴x²+2lnx-1≥a（x-1），（*）
當(dāng)x=1時(shí)，（*）對(duì)任意的a成立，
當(dāng)x＞1時(shí)，x²+2lnx-1≥a（x-1）等價(jià)于x²-ax+a-1≥-2lnx，
y=x²-ax+a-1和y=-lnx交于點(diǎn)（1，0）．
y=x²-ax+a-1有兩個(gè)或一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)y=x²-ax+a-1的另一個(gè)零點(diǎn)小于或等于1時(shí)，

由圖象知（*）式恒成立．
當(dāng)y=x²-ax+a-1的另一個(gè)零點(diǎn)大于1時(shí)，
設(shè)f（x）=x²-ax+a-1+2lnx，
f′(x)=2x-a+

2

x

≥2

2x• 2 x

-a
=4-a，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)．
當(dāng)4-a≥0，即a≤4時(shí)，f（x）=x²-ax+a-1+2lnx在∈[1，+∞）上是增函數(shù)，
不等式f（x）≥2-a對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤4}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．