Question

已知長(zhǎng)方體中，底面為正方形，面，，，點(diǎn)在棱上，且．

（Ⅰ）試在棱上確定一點(diǎn)，使得直線平面，并證明；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)，且，請(qǐng)說明點(diǎn)的軌跡，并探求長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧，且長(zhǎng)度的最小值為．

試題分析：（Ⅰ）先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面，或者可以以平面為已知條件出發(fā)，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到，進(jìn)而確定點(diǎn)的位置；（Ⅱ）先確定四邊形的形狀以及各邊的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)以及點(diǎn)為定點(diǎn)這一條件確定點(diǎn)的軌跡，在計(jì)算的過程中，可以利用平面以及從而得到平面，于是得到，進(jìn)而可以由勾股定理，從而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)取到最小值時(shí)，取到最小值.
試題解析：（Ⅰ）取的四等分點(diǎn)，使得，則有平面. 證明如下：   1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021326568586.png" style="vertical-align:middle;" />且，
所以四邊形為平行四邊形，則，   2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021326615423.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面．   4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021326053482.png" style="vertical-align:middle;" />,所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧．      6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021326755589.png" style="vertical-align:middle;" />，面，所以面，       7分
故．      8分
所以當(dāng)的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)點(diǎn)為線段和四分之一圓弧的交點(diǎn)，      10分

即，
所以．
即長(zhǎng)度的最小值為．      12分