【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)(-1, 0)是橢圓的左焦點,過點F且方向向量為的光線,經(jīng)直線反射后通過左頂點D.
(I)求橢圓的方程;
(II)過點F作斜率為的直線交橢圓于A, B兩點,M為AB的中點,直線OM (0為原點)與直線交于點P,若滿足,求的值.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象與的圖象無公共點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出整數(shù)的最大值;若不存在,請說理由.
(參考數(shù)據(jù):,,).
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【題目】【2018山西太原市高三3月模擬】已知橢圓的左、右頂點分別為,右焦點為,點在橢圓上.
(I)求橢圓方程;
(II)若直線與橢圓交于兩點,已知直線與相交于點,證明:點在定直線上,并求出定直線的方程.
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【題目】某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品,然后以每份10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理.
(Ⅰ)若小店一天購進16份,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:份,)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量(單位:份),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)小店一天購進16份這種食品,表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(ii)以小店當(dāng)天利潤的期望值為決策依據(jù),你認(rèn)為一天應(yīng)購進食品16份還是17份?
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.
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【題目】為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價矛盾,保障電力供應(yīng),支持可再生能源發(fā)展,促進節(jié)能減排,安徽省于2012年推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標(biāo)準(zhǔn):以一個年度為計費周期、月度滾動使用,第一階梯電量:年用電量2160度以下(含2160度),執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度;第二階梯電量:年用電量2161至4200度(含4200度),執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度;第三階梯電量:年用電量4200度以上,執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.
某市的電力部門從本市的用電戶中隨機抽取10戶,統(tǒng)計其同一年度的用電情況,列表如下表:
用戶編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年用電量(度) | 1000 | 1260 | 1400 | 1824 | 2180 | 2423 | 2815 | 3325 | 4411 | 4600 |
(Ⅰ)試計算表中編號為10的用電戶本年度應(yīng)交電費多少元?
(Ⅱ)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取4戶,對其用電情況作進一步分析,求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望;
(Ⅲ)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電情況,現(xiàn)從全市居民用電戶中隨機地抽取10戶,若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大,求的值.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,求證:函數(shù)有兩個不相等的零點, ,且.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】試題分析:(1)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間即解導(dǎo)數(shù)大于零求得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零求得減區(qū)間(2)函數(shù)有兩個不同的零點,先分析函數(shù)單調(diào)性得零點所在的區(qū)間, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵, , ,∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).
不妨設(shè), ,要證,即證, 在上是增函數(shù),故,且,即證. 由,得 ,
令 , ,得在上單調(diào)遞減,∴,且∴, ,∴,即∴,故得證
解析:(1)當(dāng)時, ,得,
令,得或.
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞減;
所以在, 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)證明:由題意得,其中,
由得,由得,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
∵, , ,
∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).
不妨設(shè), ,
要證,即證,
因為,且在上是增函數(shù),
所以,且,即證.
由,得 ,
令 , ,
則 .
∵,∴, ,
∴時, ,即在上單調(diào)遞減,
∴,且∴, ,
∴,即∴,故得證.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線和直線的普通方程;
(2)設(shè)為曲線上任意一點,求點到直線的距離的最值.
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【題目】已知函數(shù),是常數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程,并證明對任意,切線經(jīng)過定點;
(Ⅱ)當(dāng)時,設(shè),是的兩個正的零點,求證:.
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【題目】某學(xué)校高三年級有學(xué)生750人,其中男生450人,女生300人,為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按性別分別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組,分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機抽取兩人,求兩人性別相同的概率;
(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,試判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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