Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的圖象在x=0處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（3）求證：

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) 參考解析；（3）參考解析

【解析】

試題分析：(1)已知函數(shù)是一個(gè) 含對(duì)數(shù)與分式，以及復(fù)合函數(shù)，需要正確地對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處的切線方程，所以將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率.再根據(jù)橫坐標(biāo)為0，計(jì)算出縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程.

(2)需要判斷函數(shù)的單調(diào)性，要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的值的正負(fù)，所以要根據(jù)參數(shù)的情況分類(lèi)討論后作出判定.

（3)解法（一）令為特殊值，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性得到一個(gè)不等式成立，再將x轉(zhuǎn)化為數(shù)列中的n的相關(guān)的值，再利用一個(gè)不等式，從而得到結(jié)論.解法（二）根據(jù)結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值證明恒成立，再將x轉(zhuǎn)化為n的表達(dá)式即可.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴，所以所求的切線的斜率為3.又∵，所以切點(diǎn)為. 故所求的切線方程為：.

（2）∵，

∴． ①當(dāng)時(shí)，∵，∴； ７分

②當(dāng)時(shí)，

由，得；由，得； 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（3）方法一：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增． ∴　當(dāng)時(shí)，，即． 令（），則． 另一方面，∵，即,

∴　． ∴　（）． 方法二：構(gòu)造函數(shù)， ∴， ∴當(dāng)時(shí),；

∴函數(shù)在單調(diào)遞增． ∴函數(shù) ，即

∴，，即

令（），則有．

考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.函數(shù)的單調(diào)性.3.函數(shù)與數(shù)列的知識(shí)交匯.4.構(gòu)造新函數(shù)的思想.5.運(yùn)算能力.