Question

1．已知函數(shù)f（x）=2x+1，數(shù)列{a_n}，{b_n}分別滿足a_n=f（n），b_n=f（b_n-1）．且b₁=1，
（1）分別求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=（$\frac{{a}_{n}}{_{n}+1}$），求數(shù)列{c_n}的前項和．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)解析式及數(shù)列的特征可知a_n=2n+1，通過對b_n=2b_n-1+1變形可知數(shù)列{b_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過（1）可知$\frac{{a}_{n}}{_{n}+1}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，進而可知c_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$（n≥3），通過令d_n=c_n+2，利用錯位相減法計算可知數(shù)列{d_n}的前n-2項和為S_n-2，進而可得結論．

解答 解：（1）依題意，a_n=2n+1，
b_n=2b_n-1+1，（b_n+1）=2（b_n-1+1），
又∵b₁=1，
∴數(shù)列{b_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴b_n+1=2ⁿ，b_n=-1+2ⁿ；
（2）由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{_{n}+1}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，則
c₁=$\frac{2+1}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，c₂=$\frac{4+1}{{2}^{2}}$-1=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
當n≥3時，c_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
令d_n=c_n+2，數(shù)列{d_n}的前n項和為S_n，
則S_n-2=7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+9•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n-2=7•$\frac{1}{{2}^{4}}$+9•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n-2=7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+2（$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=7•$\frac{1}{{2}^{3}}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{4}}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{9}{{2}^{3}}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
即S_n-2=$\frac{9}{4}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
記數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，則
T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{3}{{2}^{2}}，}&{n=2}\\{3-\frac{2n+5}{{2}^{n}}，}&{n≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．