Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的定義域為R，f（1）=2，在x=t處取得最值，若y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+2x-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，2]時，f（x）≥-1恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=a（x-t）²+b，
∵f（1）=2，∴a（1-t）²+b=2．
又f（x）+g（x）=x²+2x-3，g（x）為一次函數(shù)，
∴a=1，則b=2-（1-t）²，
∴f（x）=（x-t）²+2-（1-t）²=（x-t）²-t²+2t+1．
（2）①若t＜-1時，
要使f（x）≥-1恒成立，只需f（-1）≥-1，
即t≥-，這與t＜-1矛盾；
②-1≤t≤2時，要使f（x）≥-1恒成立，
只需f（t）≥-1，即-t²+2t+1≥-1，
即1-≤t≤1+，∴1-≤t≤2；
③若t＞2時，要使f（x）≥-1恒成立，
只需f（2）≥-1，即t≤3，∴2＜t≤3，
綜上所述t的取值范圍是[1-，3]．
分析：（1）直接利用在x=t處取得最值設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再利用f（1）=2以及y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+2x-3，求出a和b即可求f（x）的解析式；
（2）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)y=f（x）在[-1，2]上的最小值問題，對對稱軸分在區(qū)間內(nèi)，以及區(qū)間左邊，右邊三種情況分別討論求出對應(yīng)的t的取值即可．
點評：本題第二問的實質(zhì)是求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于沒給定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論