Question

12．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的前三項(xiàng)系數(shù)的和為129，試問這個(gè)展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)？有理項(xiàng)？如沒有，說明理由；若有，求出這些項(xiàng)．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，求出前三項(xiàng)系數(shù)，列出方程求出n，令x的指數(shù)為求常數(shù)項(xiàng)和有理項(xiàng)．

解答 解：展開式的通項(xiàng)為C_n^k${x}^{\frac{n-k}{2}}$•2^k•${x-}^{\frac{k}{3}}$=C_n^k•2^k•${x}^{\frac{3n-5k}{6}}$，
∴展開式前3項(xiàng)的系數(shù)為1，C_n¹2=2n，4C_n²
∴1+2n+4C_n²=129，
解得n=8，
令$\frac{24-5k}{6}$=0，
即5k=24無整數(shù)解，
故無常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)k=0時(shí)，$\frac{24-5k}{6}$=4，
C₈⁰•2⁰•x⁴=x⁴，
當(dāng)k=6時(shí)，$\frac{24-5k}{6}$=-1，
C₈⁶•2⁶•x^-1=$\frac{1792}{x}$，
故有理項(xiàng)為x⁴，$\frac{1792}{x}$．

點(diǎn)評 本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．