Question

如圖所示，已知以點(diǎn) 為圓心的圓與直線 相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線 與圓 相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn) .

(1)求圓的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
(3)是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是,請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）; （2）或;（3）是定值，且．

試題分析：（1）已知圓的圓心，再根據(jù)直線與圓相切可利用圓心到直線的距離等于半徑來求出圓心，這樣即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; （2）已知直線被圓截得的弦長可聯(lián)想到圓的特征三角形的三邊的關(guān)系： ，又直線過一點(diǎn)可聯(lián)想到設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，但此處一定要注意斜率是否存在從而分兩種情況討論：當(dāng)斜率不存在時(shí)，由圖可直接分析得出;當(dāng)斜率存在時(shí)，先計(jì)算出圓心到直線的距離，再結(jié)合已知由上述特征三角形的關(guān)系可求出直線的斜率，進(jìn)而得出直線方程; （3）要判斷是否為定值，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有：，即可得，再由向量運(yùn)算的知識(shí)可知，這樣可轉(zhuǎn)化為去求，最后結(jié)合（2）中所設(shè)直線的兩種形式去求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的運(yùn)算公式可得是一個(gè)常數(shù)．
試題解析：（1）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A與直線相切，所以，故圓的方程為; （2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意;當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即．連接，則，，由，得，得直線的方程為，所求直線的方程為：或;（3） ，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，得，則，又，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由 ，解得, ，綜上所述，是定值，且．