Question

9．已知A為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過(guò)左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且當(dāng)線段AF₁的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，cos∠F₁AF₂=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{A{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}B}，\overrightarrow{A{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}C}$，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)線段AF₁的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，AC垂直于x軸，△AF₁F₂為直角三角形．運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得|AF₁|=3|AF₂|，易知|AF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x²+2y²=2b²，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時(shí)，設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求得直線AC的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線定理，可得λ₁+λ₂為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計(jì)算即可得到所求定值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)線段AF₁的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，AC垂直于x軸，△AF₁F₂為直角三角形．
因?yàn)閏os∠F₁AF₂=$\frac{1}{3}$，所以|AF₁|=3|AF₂|，易知|AF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，
由橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=2a，
則4•$\frac{^{2}}{a}$=2a，即a²=2b²=2（a²-c²），即a²=2c²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x²+2y²=2b²，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），
（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時(shí)，設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則直線AC的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-b}$（x-b），代入橢圓方程得
（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0，
可得y₀y₂=-$\frac{^{2}{{y}_{0}}^{2}}{3^{2}-2b{x}_{0}}$，又λ₂=$\frac{|\overrightarrow{A{F}_{2}}|}{|\overrightarrow{{F}_{2}C}|}$=$\frac{{y}_{0}}{-{y}_{2}}$=$\frac{3b-2{x}_{0}}$，
同理λ₁=$\frac{3b+2{x}_{0}}$，可得λ₁+λ₂=6；
（2）若AC⊥x軸，則λ₂=1，λ₁=$\frac{3b+2b}$=5，這時(shí)λ₁+λ₂=6；
若AB⊥x軸，則λ₁=1，λ₂=5，這時(shí)也有λ₁+λ₂=6；
綜上所述，λ₁+λ₂是定值6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和解直角三角形，考查定值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，以及聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化解在合理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．