Question

已知函數(shù)f（x）=x²+a，g（x）=f（f（x）），a∈R．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的最小值及它們對(duì)應(yīng)的x值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)A使得關(guān)于x的方程g（x）=0有實(shí)根，若存在，請(qǐng)求出A的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-1，
∴g（x）=f（f（x））=（x²-1）²-1，
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-1，
當(dāng)x=±1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值-1
（2）由題意可知g（x）=f（f（x））=（x²+a）²+a
令x²=t，t∈[0，+∞），則上式可化為：y=t²+2at+a²+a
題意中的方程有實(shí)根等價(jià)于t²+2at+a²+a=0有非負(fù)的實(shí)根
由根與系數(shù)關(guān)系法可得，解得a≤-1
故存在，且a的取值范圍為：a≤-1
分析：（1）把a(bǔ)=-1代入，由二次函數(shù)的最小值可得答案；
（2）題意中的方程有實(shí)根等價(jià)于t²+2at+a²+a=0有非負(fù)的實(shí)根，滿足兩根和與積均非負(fù)，解之可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的值域和零點(diǎn)，涉及根與系數(shù)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．