Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（I）由⊙C的方程ρ=2

5

sinθ可得：ρ2=2

5

ρsinθ，利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．
（II）把直線l的參數(shù)方程

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t為參數(shù)）代入⊙C的方程得到關(guān)于t的一元二次方程，即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)參數(shù)的意義可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|即可得出．

解答：解：（I）由⊙C的方程ρ=2

5

sinθ可得：ρ2=2

5

ρsinθ，化為x2+y2-2

5

y=0．
（II）把直線l的參數(shù)方程

x=3- 2 2 t y= 5 - 2 2 t

（t為參數(shù)）代入⊙C的方程得(3-

2

2

t)2+(

5

-

2

2

t)2-2

5

(

5

-

2

2

t)=0，化為t2-3

2

t+4=0．
∴t1+t2=3

2

．（t₁t₂=4＞0）．
根據(jù)參數(shù)的意義可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的幾何意義、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．