Question

15．實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$，則$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的取值范圍是[2，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)已知的約束條，畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域，將式子進(jìn)行變形，再分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖象即可給出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．

解答 解：約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖示：
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線(xiàn)的斜率，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$可得A（1，2）
由圖可知k的最大值為k_OB=2，最小值為k_OA=$\frac{1}{2}$，
$\frac{y}{x}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2]，
又$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上遞增，
則當(dāng)t=1時(shí)，z=1+1=2，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，z=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的取值范圍是[2，$\frac{5}{2}$]．
故答案為：[2，$\frac{5}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．