Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點．
（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）證明：平面EFG⊥平面PAD；
（3）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）運用面面平行的判定定理，先證線面平行，即可得到證明；
（2）由線面垂直的性質和面面垂直的判定定理，即可得證；
（3）Q為線段PB中點時，PC⊥平面ADQ．運用線面垂直的判定定理即可得到結論．

解答 證明：（1）E，F(xiàn)分別是線段PC，PD的中點，所以EF∥CD，
又ABCD為正方形，AB∥CD，
所以EF∥AB，
又EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB．
因為E，G分別是線段PC，BC的中點，所以EG∥PB，
又EG?平面PAB，所以，EG∥平面PAB．
所以平面EFG∥平面PAB；
（2）因為CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD；
（3）Q為線段PB中點時，PC⊥平面ADQ．
取PB中點Q，連接DE，EQ，AQ，
由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ為平面四邊形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，
所以AD⊥PC，
又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點，所以DE⊥PC，
AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．

點評 本題考查線面位置關系的證明，主要是面面平行和面面垂直、以及線面垂直的證明，注意運用轉化思想，考查推理能力，屬于中檔題．