Question

4．經(jīng)過B（1，2）作兩條互相垂直的直線l₁和l₂，l₁交y軸正半軸于點A，l₂交x軸正半軸于點C．若存在經(jīng)過O，A，B，C四點的圓C，則圓C半徑的取值范圍是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由AB⊥BC，OA⊥OC，可知總存在經(jīng)過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑，分類討論，確定A、C的坐標(biāo)，表示出AC，即可求得結(jié)論．

解答 解：因為AB⊥BC，OA⊥OC，
所以總存在經(jīng)過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑．
①若l₁⊥y軸，則l₂∥y軸，此時四邊形OABC為矩形，|AC|=$\sqrt{5}$．
②若l₁與y軸不垂直，則兩條直線斜率都存在．不妨設(shè)直線l₁的斜率為k，則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{k}$．
所以直線l₁的方程為y-2=k（x-1），從而A（0，2-k）；
直線l₂的方程為y-2=-$\frac{1}{k}$（x-1），從而C（2k+1，0）．
令$\left\{\begin{array}{l}{2-k＞0}\\{2k+1＞0}\end{array}\right.$，解得k∈（-$\frac{1}{2}$，2），注意到k≠0，
所以k∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，2）．
此時|AC|²=（2-k）²+（2k+1）²=5k²+5＞5，|AC|＞$\sqrt{5}$，
所以半徑的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得圓C半徑的取值范圍是：[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查確定直線位置的幾何要素，直線的傾斜角和斜率，過兩點的直線斜率的計算公式，直線方程的點斜式，兩條直線平行或垂直的判定，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．