已知一條拋物線和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線l與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),且滿足
F2P
=m
F2Q
,求m的取值范圍.
(1)由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),
把M(1,2)點(diǎn)代入方程得:拋物線方程為y2=4x…(2分)
所以F1(1,0),
設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,橢圓的焦點(diǎn)F1(1,0),
a2-b2=1
1
a2
+
4
b2
=1

a2=3+2
2
,b2=2+2
2

∴橢圓方程為
x2
3+2
2
+
y2
2+2
2
=1
…(6分)
(2)橢圓的焦點(diǎn)F1(1,0),另一個(gè)焦點(diǎn)為F2(-1,0),
設(shè)直線的方程為y=k(x+1),聯(lián)立方程得
y=k(x+1)
y2=4x

消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
因?yàn)橹本l與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn),所以
k≠0
(2k2-4)2-4k2>0
,解得-1<k<1且k≠0…(9分)
設(shè)P(x1,y1)Q(x2,y2),則
x1+x2=
4-2k2
k2
x1x2=1
,
F2P
=m
F2Q
得(x1+1,y1)=m(x2+1,y2),所以
x1+1=m(x2+1)
y1=my2

∵P、Q為不同的兩點(diǎn),∴m≠1,y12=m2y22
4x1=m2•4x2,∴x1=m2x2
解得x2=
1
m
x1=m
,
x1+x2=
1
m
+m
…(12分)
1
m
+m=
4
k2
-2

∵0<k2<1,
4
k2
-2>2
,即
1
m
+m>2

∴m>0且m≠1…(14分)
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(1)求拋物線的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線l與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),且滿足
F2P
=m
F2Q
,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知一條拋物線和一個(gè)橢圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上具有相同的焦點(diǎn)F1,且兩者的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸,拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的方程和橢圓方程;
(2)假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F2,經(jīng)過(guò)F2的直線l與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),且滿足數(shù)學(xué)公式,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年河北省保定市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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