Question

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，恰好又是雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．

（1）求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為直徑作圓，設(shè)圓與軸交于點(diǎn)，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）

【解析】

（1）由雙曲線過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．可得，，，聯(lián)立解得：，，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．可得，解得．可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：．此時(shí)，．的方程為：．可得．

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，由題意可得：．聯(lián)立化為：．設(shè)，，，．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．設(shè)的半徑為，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為．在中，，可得范圍，及其范圍，即可得出結(jié)論．

（1）由雙曲線過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．

，，，

聯(lián)立解得：，．

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

由，可得，解得．

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：．此時(shí)，．

的方程為：．

可得，．．

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

由題意可得：．聯(lián)立，化為：．

設(shè)，，，．則，．

，

．

設(shè)的半徑為，則．

過(guò)點(diǎn)作，垂足為．

在中，．

，則．

綜上可得：的最大值為．