Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，它的前n項的和為S_n，點（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

的圖象上；數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n+1•（a_n+1-a_n）=b_n，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得S_n=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，從而a_n-a_n-1=4（n≥2），又a₁=2，由此得到a_n=4n-2，從而b₁=2，

bn+1

bn

=

1

4

，由此得到bn=2•(

1

4

)n-1．
（2）由c_n=

an

bn

=（2n-1）•4^n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，它的前n項的和為S_n，
點（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

的圖象上，
∴由已知條件得S_n=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，①
當(dāng)n≥2時，S_n-1=

1

8

an-12+

1

2

an-1+

1

2

，②
①-②得：an=

1

8

(an2-an-12)+

1

2

(an-an-1)，
即an+an-1=

1

4

(an+an-1)(an-an-1)，
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
又a₁=2，∴a_n=4n-2，
∵b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，
∴b₁=2，

bn+1

bn

=

1

4

，∴bn=2•(

1

4

)n-1．
（2）∵c_n=

an

bn

=（2n-1）•4^n-1，
∴T_n=1+3•4+5•4²+…+（2n-1）•4^n-1，
4T_n=4+3•4²+5•4³+…+（2n-1）•4ⁿ，
兩式相減得-3T_n=1+2（4+4²+4³+…+4^n-1）-（2n-1）•4ⁿ
=1+2×

4(1-4n-1)

1-4

-（2n-1）•4ⁿ
=-

5

3

-（2n-

5

3

）•4ⁿ，
∴T_n=

5

9

+

(6n-5)

9

•4n．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意錯位相減法的合理運用．