Question

已知x=1是函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-

3

2

x2+(a+1)x+5的一個極值點．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=2x+m有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用三次函數(shù)在極值點處的導數(shù)為零，即可解得a的值，進而確定函數(shù)的解析式；
（II）將兩曲線有三個交點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）-（2x+m）有三個零點問題，利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，找到問題的充要條件，列不等式即可解得m的范圍

解答：解：（I）f′（x）=ax²-3x²+a+1
由f′（1）=0得：a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5
（II）曲線y=f（x）與直線y=2x+m有三個交點
即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5-2x-m=0有三個根
即g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5-m有三個零點
由g′（x）=x²-3x=0，得x=0或x=3
由g′（x）＞0得x＜0或x＞3，由g′（x）＜0得0＜x＜3
∴函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，在（0，3）上為減函數(shù)，在（3，+∞）上為增函數(shù)
要使g（x）有三個零點，
只需

g(0)＞0 g(3)＜0

即

5-m＞0 1 2 -m＜0

解得：

1

2

＜m＜5

點評：本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)極值、單調(diào)性中的應用，三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點分布問題，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法