Question

2．下列說(shuō)法中所有正確的是①③④
①“p∧q”為真的一個(gè)必要不充分條件是“p∨q”為真
②若p：$\frac{1}{x}$＞0，則￢p：$\frac{1}{x}$≤0
③若實(shí)數(shù)a，b滿足$\sqrt{a}$+$\sqrt$=1，則$\frac{1}{2}$≤a+b≤1
④數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)復(fù)合命題真假以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
②根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷．
③根據(jù)轉(zhuǎn)化法結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．
④根據(jù)數(shù)列構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答 解：①若“p∧q”為真，則p，q同時(shí)為真，則“p∨q”為真，
反之若“p∨q”為真，則p，q至少有一個(gè)為真，則“p∧q”不一定為真，
故“p∧q”為真的一個(gè)必要不充分條件是“p∨q”為真，正確，故①正確，
②若p：$\frac{1}{x}$＞0，則￢p：$\frac{1}{x}$≤0或x=0，故②錯(cuò)誤，
③若實(shí)數(shù)a，b滿足$\sqrt{a}$+$\sqrt$=1，
由$\sqrt{a}$+$\sqrt$=1得$\sqrt$=1-$\sqrt{a}$≥0，則0≤a≤1，
則b=（1-$\sqrt{a}$）²=1-2$\sqrt{a}$+a，
則a+b=2a-2$\sqrt{a}$+1=2（$\sqrt{a}$）²-2$\sqrt{a}$+1=2（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵0≤a≤1，∴0≤$\sqrt{a}$≤1，
即當(dāng)$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，a+b取得最小值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)$\sqrt{a}$=0或1時(shí)，a+b取得最大值1，
即$\frac{1}{2}$≤a+b≤1成立，故③正確，
④$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}）^{2}+2•{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$，
∵n∈N^*，
∴2ⁿ≥2，則y=2ⁿ+$\frac{1}{{2}^{n}}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，則y=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)n=1時(shí)，y=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$取得最大值，此時(shí)y=$\frac{2}{（2+1）^{2}}$=$\frac{2}{9}$，故④正確．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)交點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．