Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2ax²+x+3．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若x∈（-∞，-1]時(shí)，不等f(wàn)（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意，必有f（-1）=-1+2a-1+3≤0，從而可得a≤-

1

2

；在a≤-

1

2

的條件下討論f′（x）在（-∞，-1]上的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
當(dāng)x∈（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-1，-

1

3

）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，-

1

3

）是減函數(shù)；
（2）∵在x∈（-∞，-1]時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立，
∴f（-1）=-1+2a-1+3≤0，
∴a≤-

1

2

；
而f′（x）=3x²+4ax+1，
若△＜0，則f′（x）＞0；
若△≥0，則由韋達(dá)定理可知，
f′（x）=0的兩個(gè)根都大于0；
故當(dāng)x∈（-∞，-1]時(shí)，f′（x）＞0恒成立；
故f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，
故在x∈（-∞，-1]時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立可化為
f（-1）=-1+2a-1+3≤0，
即a≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，第二問(wèn)比較難，屬于難題．