Question

9．營養(yǎng)師要為兒童預(yù)定午餐和晚餐，已知一個單位的午餐含12個單位的碳稅化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含有8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C，另外，這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含有64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個維生素C．
（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)填寫如表：

營養(yǎng)成分	碳水化合物/單位	蛋白質(zhì)/單位	維生素C/單位
午餐
晚餐

（Ⅱ）已知一個單位的午餐，晚餐的費用分別是4元和5元，若預(yù)定x個單位的午餐和y個單位的晚餐，共花費z元，請列出滿足上述營養(yǎng)要求的不等式組及目標函數(shù)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，并且花費最少，應(yīng)分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出表格填寫即可；（Ⅱ）根據(jù)題意列出滿足營養(yǎng)要求的不等式組及目標函數(shù)即可；
（Ⅲ）利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標函數(shù)，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）

營養(yǎng)成分	碳水化合物/單位	蛋白質(zhì)/單位	維生素/單位
午餐	12	6	6
晚餐	8	6	10

（Ⅱ）由題意知約束條件為：$\left\{\begin{array}{l}{12x+8y≥64}\\{6x+6y≥42}\\{6x+10y≥54}\\{x＞0，x{∈N}^{*}}\\{y＞0，y{∈N}^{*}}\end{array}\right.$，
目標函數(shù)為：z=4x+5y，
（Ⅲ）畫出可行域如圖：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=27}\\{x+y=7}\end{array}\right.$，解得A（4，3），
變換目標函數(shù)：
把z=4x+5y變形為y=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{z}{5}$，
其中$\frac{z}{5}$是這條直線在y軸上的截距，
當(dāng)目標函數(shù)過點A，即直線6x+6y=42與6x+10y=54的交點（4，3）時，z取得最小值，
z_min=4x+5y=31，
即要滿足營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為兒童分別預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐．

點評 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．