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14.已知點A(2,1)為橢圓G:x2+2y2=m上的一點.
(Ⅰ)求橢圓G的焦點坐標;
(Ⅱ)若橢圓G上的B,C兩點滿足2k1k2=-1(其中k1,k2分別為直線AB,AC的斜率).證明:B,C,O三點共線.

分析 (Ⅰ)由點A(2,1)為橢圓G:x2+2y2=m上的一點,求出m,由此能求出橢圓G的焦點坐標.
(Ⅱ)由{y=k1x2+1x2+2y2=6,得2k12+1x24k12k11x+22k112-6=0,由此利用韋達定理能推導(dǎo)出y1=-y2,從而能證明B、C、O三點共線.

解答 解:(Ⅰ)∵點A(2,1)為橢圓G:x2+2y2=m上的一點,
∴m=4+2=6,
∴橢圓的標準方程為x26+y23=1,
∴c=63=3,
∴橢圓G的焦點坐標為(-3,0)和(3,0).
(Ⅱ)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
{y=k1x2+1x2+2y2=6,消去y,化簡,得:
2k12+1x24k12k11x+22k112-6=0,
x1=2k11232k22+1,同理得x2=2k21232k22+1
∵2k1k2=-1,
x2=2k122k2126k124k12k22+2k12=21k126k121+2k12=2+4k14k121+2k12=32k1121+2k12=-x1
∴2k1k2=2×y11x12×y21x22=2×y11y214x12=y11y21y121=y21y1+1=-1,
∴y1=-y2,
∴B、C、O三點共線.

點評 本題考查橢圓的焦點坐標的求法,考查三點共線的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.

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