分析 (Ⅰ)由點A(2,1)為橢圓G:x2+2y2=m上的一點,求出m,由此能求出橢圓G的焦點坐標.
(Ⅱ)由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}(x-2)+1}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=6}\end{array}\right.$,得$(2{{k}_{1}}^{2}+1){x}^{2}-4{k}_{1}(2{k}_{1}-1)x+2(2{k}_{1}-1)$2-6=0,由此利用韋達定理能推導(dǎo)出y1=-y2,從而能證明B、C、O三點共線.
解答 解:(Ⅰ)∵點A(2,1)為橢圓G:x2+2y2=m上的一點,
∴m=4+2=6,
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$,
∴c=$\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$,
∴橢圓G的焦點坐標為(-$\sqrt{3}$,0)和($\sqrt{3}$,0).
(Ⅱ)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}(x-2)+1}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=6}\end{array}\right.$,消去y,化簡,得:
$(2{{k}_{1}}^{2}+1){x}^{2}-4{k}_{1}(2{k}_{1}-1)x+2(2{k}_{1}-1)$2-6=0,
∴${x}_{1}=\frac{(2{k}_{1}-1)^{2}-3}{2{{k}_{2}}^{2}+1}$,同理得${x}_{2}=\frac{(2{k}_{2}-1)^{2}-3}{2{{k}_{2}}^{2}+1}$,
∵2k1k2=-1,
∴${x}_{2}=\frac{2{{k}_{1}}^{2}(2{k}_{2}-1)^{2}-6{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}{{k}_{2}}^{2}+2{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{2(-1-{k}_{1})^{2}-6{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{2+4{k}_{1}-4{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{3-(2{k}_{1}-1)^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=-x1,
∴2k1k2=$2×\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}×\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=2×$\frac{({y}_{1}-1)({y}_{2}-1)}{4-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{({y}_{1}-1)({y}_{2}-1)}{{{y}_{1}}^{2}-1}$=$\frac{{y}_{2}-1}{{y}_{1}+1}$=-1,
∴y1=-y2,
∴B、C、O三點共線.
點評 本題考查橢圓的焦點坐標的求法,考查三點共線的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.
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A. | 8<$\frac{f(2)}{f(1)}$<16 | B. | 4<$\frac{f(2)}{f(1)}$<8 | C. | 3<$\frac{f(2)}{f(1)}$<4 | D. | 2<$\frac{f(2)}{f(1)}$<3 |
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A. | 關(guān)于點($\frac{π}{6}$,0)對稱 | B. | 關(guān)于點($\frac{π}{3}$,0)對稱 | ||
C. | 關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱 | D. | 關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱 |
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