Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A(1，

2

2

)，且離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過右焦點(diǎn)l：x=4的直線P與橢圓l相交于d兩點(diǎn)，且

F1P

⊥

F1Q

，求直線C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)題意，e=

c

a

=

2

2

，設(shè)橢圓C：

x2

2c2

+

y2

c2

=1．代入A(1，

2

2

)，能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=1，經(jīng)驗(yàn)證，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0．由此利用韋達(dá)定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

c，∴b²=a²-c²=c²，
故可設(shè)橢圓C：

x2

2c2

+

y2

c2

=1．
代入A(1，

2

2

)，得c²=1，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=1，經(jīng)驗(yàn)證，不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

，

F1P

=(x1+1，y1)，

F1Q

=(x2+1，y2)，
∵

F1P

⊥

F1Q

，∴

F1P

•

F1Q

=0，
即(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(k2-1)(x1+x2)+k2+1
=

7k2-1

2k2+1

=0，
解得k2=

1

7

，即k=±

7

7

．
故直線l的方程為x+

7

y-1=0或x-

7

y-1=0．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．