Question

如圖：是y=f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的簡圖，它與x軸的交點是（1，0）和（3，0）
（1）求y=f（x）的極小值點和單調(diào)減區(qū)間
（2）求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用其導(dǎo)函數(shù)f'（x）圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來求其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其極值．（注意是在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性）
（2）由圖知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入導(dǎo)函數(shù)解析式得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）由f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象可知：導(dǎo)函數(shù)f'（x）小于0的解集是（1，3）；
函數(shù)f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正．
即函數(shù)在x=3處取得極小值，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，3）．
（2）由于f（x）=

a

3

x³-2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²-4x+3a²，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0
則

f′(1)=a-4+3a2=0 f′(3)=9a-12+3a2=0

解得 a=1．
則實數(shù)a的值為1．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．