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14.已知函數(shù)f(x)=ax-2lnx.
(Ⅰ)當a=1時,函數(shù)y=x•f(x)有幾個極值點?
(Ⅱ)若f(x)≤0對于x∈(1e,e)的解集非空,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)當a=1時,設(shè)F(x)=x•f(x)=x2-2xlnx,利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性,進而可得答案;
(Ⅱ)若f(x)≤0對于x∈(1e,e)的解集非空,則存在x1ee使a2lnxx成立.進而得到實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)當a=1時,f(x)=x-2lnx,
設(shè)F(x)=x•f(x)=x2-2xlnx,
則F'(x)=2x-2lnx-2=2[(x-1)-lnx](x>0).
令h(x)=x-1-lnx,則hx=11x=x1x
所以當0<x<1時,h'(x)<0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當x>1時,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
所以當x=1時h(x)min=h(1)=0,
所以當x>0時F'(x)≥0恒成立,
所以函數(shù)y=x•f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值點.
(Ⅱ)因為f(x)≤0,即ax-2lnx≤0.
問題等價于存在x1ee使a2lnxx成立.
gx=2lnxx,則gx=21lnxx2
因為x1ee,所以-1<lnx<1,
所以g'(x)>0在1ee上恒成立,
所以g(x)在1ee上單調(diào)遞增,
所以g1egxge,
2egx2e
所以a2e

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,恒成立問題,轉(zhuǎn)化思想,難度中檔.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在(0,1)內(nèi)有解,求實數(shù)a的取值范圍.

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5.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

xywni=1xi¯x2ni=1wi¯w2ni=1xi¯xyi¯yni=1wi¯wyi¯y
46.656.36.8289.81.61469108.8
表中w1=x1w=18ni=1wi
(Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問題:
(1)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
(2)年宣傳費x為何值時,年利率的預(yù)報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為:\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{({u_i}-\overline u)({v_i}-\overline{v)}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({u_i}-\overline u)}^2}}}},\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料:x=2,3,4,5,6分別對應(yīng)y=2.2,3.8,5.5,6.5,7.0.若資料知,y對x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求:
(1)\overline{x},\overline{y}及回歸直線方程;
(2)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?
提示:回歸直線方程y=bx+a,b=\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.設(shè)a為實常數(shù),對任意x∈[0,+∞),不等式(x+1)ln(x+1)≥ax恒成立,則a的取值范圍是( �。�
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)

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上機天數(shù)x1020304050
產(chǎn)品個數(shù)y/天62 758189
根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求得y關(guān)于x的線性回歸方程為\widehat{y}=0.67x+54.9,由于表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清,請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為( �。�
A.67B.68C.68.3D.71

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