【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
的離心率為
，點
在橢圓
上.
求橢圓的方程；
已知
與
為平面內的兩個定點，過點
的直線
與橢圓交于
兩點，求四邊形
面積的最大值.
【答案】（1）
（2）6
【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得到動圓圓心
的軌跡
的方程；（2）設
的方程為
，聯立可得
，通過根與系數的關系表示弦長進而得到四邊形
面積的表達式，利用換元法及均值不等式求最值即可.
試題解析：
解：
由
可得，
，又因為
，所以
.
所以橢圓方程為
，又因為
在橢圓上，所以
.
所以
，所以
，故橢圓方程為.
方法一：設的方程為，聯立
，
消去
得
，設點
，
有
，
所以
令
，
有
，由
函數
，
故函數，在
上單調遞增，
故
，故
當且僅當
即
時等號成立，
四邊形面積的最大值為
.
方法二：設的方程為，聯立，
消去得，設點，
有
有
，
點
到直線的距離為
，
點
到直線的距離為
，
從而四邊形的面積
令，
有，
函數，
故函數，在上單調遞增，
有，故當且僅當即時等號成立，四邊形面積的最大值為.
方法三：①當的斜率不存在時，
此時，四邊形的面積為
.
②當的斜率存在時，設為：
，
則
，
，
四邊形的面積
，
令 
則 
,
，
，
綜上，四邊形面積的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓O：
，直線l：
．
若直線l與圓O交于不同的兩點A、B，當
為銳角時，求k的取值范圍；
若
，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，則直線CD是否過定點？若是，求出定點，并說明理由．
若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為
，求四邊形EGFH的面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A﹣BCD，則在三棱錐A﹣BCD中，下列判斷正確的是_____．（寫出所有正確的序號）
①平面ABD⊥平面ABC
②直線BC與平面ABD所成角是45°
③平面ACD⊥平面ABC
④二面角C﹣AB﹣D余弦值為
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【題目】如圖，正方體
的棱長為2，
、
分別為棱
、
上的點，且與頂點不重合.
（1）若直線
與
相交于點
，求證：
、
、三點共線；
（2）若、分別為、的中點.
（�。┣笞C：幾何體
為棱臺；
（ⅱ）求棱臺的體積.
（附：棱臺的體積公式
，其中
、
分別為棱臺上下底面積，
為棱臺的高）
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【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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【題目】某音樂院校舉行“校園之星”評選活動，評委由本校全體學生組成，對
兩位選手，隨機調查了20個學生的評分，得到下面的莖葉圖：
所得分數 | 低于60分 | 60分到79分 | 不低于80分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 復賽待選 | 直接晉級 |
（1）通過莖葉圖比較兩位選手所得分數的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；
（2）舉辦方將會根據評分結果對選手進行三向分流，根據所得分數，估計兩位選手中哪位選手直接晉級的概率更大，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年是中國傳統的農歷“鼠年”，有人用3個圓構成“卡通鼠”的形象，如圖：
是圓Q的圓心，圓Q過坐標原點O；點L、S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S、圓L均與圓Q外切.已知直線l過點O.
（1）若直線l與圓L、圓S均相切，則l截圓Q所得弦長為__________；
（2）若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則
__________.
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