數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,后人稱(chēng)這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),若其歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是( 。
A、(-4,0)B、(0,-4)C、(4,0)D、(4,0)或(-4,0)
分析:設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo),由重心坐標(biāo)公式求得重心,代入歐拉線得一方程,求出AB的垂直平分線,和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心,由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程,兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo).
解答:解:設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式得,
三角形ABC的重心為(
2+m
3
,
4+n
3
),
代入歐拉線方程得:
2+m
3
-
4+n
3
+2=0
,
整理得:m-n+4=0  ①
AB的中點(diǎn)為(1,2),kAB=
4-0
0-2
=-2

AB的中垂線方程為y-2=
1
2
(x-1),即x-2y+3=0.
聯(lián)立
x-2y+3=0
x-y+2=0
,解得
x=-1
y=1

∴△ABC的外心為(-1,1).
則(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,
整理得:m2+n2+2m-2n=8  ②
聯(lián)立①②得:m=-4,n=0或m=0,n=4.
當(dāng)m=0,n=4時(shí)B,C重合,舍去.
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0).
故選:A.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線方程的求法,訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式,考查了方程組的解法,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.
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