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4.已知無窮數(shù)列{an}滿足an+1=p•an+qan(n∈N*).其中p,q均為非負實數(shù)且不同時為0.
(1)若p=12,q=2,且a3=4120,求a1的值;
(2)若a1=5,p•q=0,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)若a1=2,q=1,且{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,求實數(shù)p的取值范圍.

分析 (1)a3=4120=12a2+2a2,解得a2=5285,進而解得a1
(2)對p,q分類討論,對n分類討論,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
(3)由題意,an>0,由a1=2,可得a2=2p+122,解得0p34,若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則an+1=pan+1anan,可得an11p,可得:對于任意自然數(shù)n,1ppanpn1211p+11p恒成立.由0p34,由1pp11p,解得p12.下面證明:當p1234時,數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.通過作差即可證明.

解答 解:(1)∵a3=4120=12a2+2a2,解得a2=5285,
a2=52時,52=12a1+2a1,解得a1=1或4,
a2=85時,無解.
∴a1=1或4.
(2)若p=0,q≠0,an+1=qan.∴a1=5a2=q5a3=5a4=q5
∴當n為奇數(shù)時,Sn=5n12+q5n+12=25n+qn+q2510
當n為偶數(shù)時,Sn=5n2+q5n2=25n+qn10
若p≠0,q=0時,an+1=p•an
Sn={5pn1p1p0p15np=1
(3)由題意,an>0,
由a1=2,可得a2=2p+122,解得0p34,
若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則an+1=pan+1anan,可得an11p,
又有an+111p=an11pp1pan
an11p,∴p1pan0,即an1pp
由①可知,an+111ppan11p,
an11ppan111ppn1a111p=pn1211p
anpn1211p+11p
∴對于任意自然數(shù)n,1ppanpn1211p+11p恒成立.
0p34,由1pp11p,解得p12
下面證明:當p1234時,數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.
p34時,可得a2=2p+122=a1
an+1=pan+1anan=pan1+1an1n2,
兩式相減得an+1an=anan1p1anan1,
an=pan1+1an12p成立,則有an•an-1>4p
p12時,anan14p1p,即p1anan1④,
由③④可知,當an<an-1時,恒有an+1<an
對于任意的自然數(shù)n,an+1<an恒成立.
∴實數(shù)p的取值范圍是:1234

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的解法與性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.

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