分析 (1)a3=4120=12a2+2a2,解得a2=52或85,進而解得a1.
(2)對p,q分類討論,對n分類討論,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
(3)由題意,an>0,由a1=2,可得a2=2p+12<2,解得0<p<34,若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則an+1=pan+1an<an,可得an>1√1−p,可得:對于任意自然數(shù)n,√1−pp<an<pn−1(2−1√1−p)+1√1−p恒成立.由0<p<34,由√1−pp<1√1−p,解得p>12.下面證明:當p∈(12,34)時,數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.通過作差即可證明.
解答 解:(1)∵a3=4120=12a2+2a2,解得a2=52或85,
當a2=52時,52=12a1+2a1,解得a1=1或4,
當a2=85時,無解.
∴a1=1或4.
(2)若p=0,q≠0,an+1=qan.∴a1=5,a2=q5,a3=5,a4=q5,
∴當n為奇數(shù)時,Sn=5•n−12+q5•n+12=25n+qn+q−2510;
當n為偶數(shù)時,Sn=5•n2+q5•n2=25n+qn10.
若p≠0,q=0時,an+1=p•an,
∴Sn={5(pn−1)p−1p≠0,p≠15np=1.
(3)由題意,an>0,
由a1=2,可得a2=2p+12<2,解得0<p<34,
若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則an+1=pan+1an<an,可得an>1√1−p,
又有an+1−1√1−p=(an−1√1−p)(p−√1−pan)①
∵an>1√1−p,∴p−√1−pan>0,即an>√1−pp.
由①可知,an+1−1√1−p<p•(an−1√1−p),
∴an−1√1−p<p•(an−1−1√1−p)<…<pn−1(a1−1√1−p)=pn−1(2−1√1−p),
∴an<pn−1(2−1√1−p)+1√1−p②
∴對于任意自然數(shù)n,√1−pp<an<pn−1(2−1√1−p)+1√1−p恒成立.
∵0<p<34,由√1−pp<1√1−p,解得p>12.
下面證明:當p∈(12,34)時,數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.
當p<34時,可得a2=2p+12<2=a1③
由an+1=p•an+1an和an=p•an−1+1an−1,(n≥2),
兩式相減得an+1−an=(an−an−1)(p−1anan−1),
∵an=p•an−1+1an−1≥2√p成立,則有an•an-1>4p
當p>12時,an•an−1>4p>1p,即p>1anan−1④,
由③④可知,當an<an-1時,恒有an+1<an,
對于任意的自然數(shù)n,an+1<an恒成立.
∴實數(shù)p的取值范圍是:(12,34).
點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的解法與性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (0,1] | B. | [0,1) | C. | (-∞,1] | D. | [0,1] |
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A. | \sqrt{3} | B. | 1 | C. | -1 | D. | -\sqrt{3} |
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