Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx．
（I）當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[1，t）內(nèi)無極值，求t的范圍；
（Ⅱ）若a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在某點(diǎn)處有相同的切線，且不等式f（x）≥kx+b≥g（x）對于任意的正實(shí)數(shù)x都成立，試求常數(shù)k、b．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出t的范圍即可；
（Ⅱ）分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，從而求出k的值，求出切線方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（I）當(dāng)a=e時(shí)，h（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ex-3e²lnx（x＞0），
h′（x）=x+2e-$\frac{3{e}^{2}}{x}$=$\frac{（x+3e）（x-e）}{x}$，
∴x=e是極值點(diǎn)，則t∈（1，e）；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，∴f′（x）=x+2a，
∵g（x）=3a²lnx，∴g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，
令x+2a=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，∴（x+3a）（x-a）=0，
∴x=-3a或x=a（舍）時(shí)導(dǎo)數(shù)相等，
由a＜0時(shí)，f（-3a）=g（-3a）?$\frac{1}{2}$（-3a）²+2（-3a）²=3（-3a）²ln（-3a）⇒a=-$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$，
f′（-3a）=g′（-3a）=-a=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$=k，
f（-3a）=$\frac{1}{2}$a²+2a²=$\frac{5}{2}{e}^{\frac{5}{3}}$，
切點(diǎn)是（-$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$，$\frac{5}{2}{e}^{\frac{5}{3}}$），切線是y=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$
令F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$，
F′（x）=x-${e}^{\frac{5}{6}}$，
∴x∈（${e}^{\frac{5}{6}}$，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，x∈（0，${e}^{\frac{5}{6}}$）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
∴F（x）≥F（${e}^{\frac{5}{6}}$）═0，
∴f（x）≥$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$恒成立．
同理$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$≥g（x）恒成立．
∴k=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$，b=$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及曲線的切線方程問題，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最值證明不等式是關(guān)鍵，是一道中檔題．