Question

6．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=-f（2a-x），則稱f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”．給定下列函數(shù)：①f（x）=$\sqrt{x}$；②f（x）=e^x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“準(zhǔn)奇函數(shù)”的有（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 判斷對(duì)于函數(shù)f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)的主要標(biāo)準(zhǔn)是：若存在常數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=-f（2a-x）知，
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱，
①函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)不存在對(duì)稱中心，所以①不是準(zhǔn)奇函數(shù)．
②若f（x）=-f（2a-x），則e^x=-e^（2a-x），
∵e^x＞0，-e^（2a-x）＜0，∴e^x=-e^（2a-x），無(wú)解所以②不是準(zhǔn)奇函數(shù)
③f（x）=cos（x+1）存在對(duì)稱中心，所以③是準(zhǔn)奇函數(shù)
④f（x）=tanx存在對(duì)稱中心，則④為準(zhǔn)奇函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和應(yīng)用，根據(jù)條件得到函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)是關(guān)鍵．