Question

若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（Ⅰ）若x-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，證明：

a2+b2

2

比（

a+b

2

）²遠(yuǎn)離0．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得：|x-1|＞1，解絕對(duì)值不等式，求得它的解集．
（Ⅱ）由題意可得，本題即證

a2+b2

2

＞(

a+b

2

)2，即證 2（a²+b²）＞a²+2ab+b² ，即證 （a-b）²＞0．結(jié)合題中條件，原不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：|x-1|＞1，∴x-1＜-1，或x-1＞1，∴x＜0，或x＞2．
（Ⅱ）要證

a2+b2

2

比(

a+b

2

)2遠(yuǎn)離0，即證

a2+b2

2

＞(

a+b

2

)2，
即證  

a2+b2

2

＞

a2+2ab+b2

4

，
即證  2（a²+b²）＞a²+2ab+b² ，即證 （a-b）²＞0．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0恒成立，故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查推理（歸納推理）與證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理論證能力，考查特殊與一般的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．